miércoles, 15 de diciembre de 2010

Efecto mariposa y atractores (II)

Efecto mariposa y atractores (II): "
Una mariposa contemplando el huracán que ha provocado
Lorenz era un soñador, y como muchos Físicos anhelaba descubrir una sóla fórmula que lo explicara todo. En este caso, por lo menos, que describiera y predijera por completo el comportamiento de la atmósfera, ya que era meteorólogo. Con ese noble propósito, desarrolló un modelo matemático, que podía utilizar para realizar los cálculos necesarios.
Sin embargo, su sistema de ecuaciones era matemáticamente muy complicado, no se podía resolver. Tan sólo se podían hacer aproximaciones numéricas. Hasta la aparición de las máquinas de cálculo automático, uno estaba limitado a lo que podía calcular con papel, pluma y regla de cálculo, que no era demasiado.
Pero para el postmoderno de Lorenz, eso ya no era necesario. Tomó sus ecuaciones, puso sus ecuaciones en una de las modernas computadoras de la época y se dedicó a hacer simulaciones. Para hacerlo, sólo tenía que decirle al ordenador el estado inicial de la atmósfera.
Un buen día, Edward decidió repetir una de las simulaciones. Pero como estaba un poco cansado, en vez de introducir todos los decimales en la máquina hizo un pequeño redondeo. Por ejemplo, en vez de poner 1,0396, simplemente escribió 1,04 (estos son números inventados por mi a modo de ejemplo). Total, una diferencia tan pequeña no se podía notar.
# Exacto
Aproximado Diferencia
0 1,0396 1,04
0,04%
1 1,0807 1,0816 0,08%
2 1,1680 1,1698 0,15%
3 1,3643 1,3686 0,31%
4 1,8615 1,8730 0,62%
5
3,4651 3,5081 1,24%
6 12,0072 12,3065 2,49%
7 144,1726 151,4494 5,05%
8 20785,7324 22936,9074 10,35%
9 432046672,26 526101719,18 21,77%
10 1,8667 · 1017 2,7678 · 1017 48,28%
11 3,4844 · 1034 7,6609 · 1034 119,87%
12
1,2141 · 1069 5,8690 · 1069 383,41%
13 1,4740 · 10138 3,4444 · 10139 2236,82%
Para su sorpresa, los resultados obtenidos fueron completamente diferentes. De esta forma descubrió, de la forma más dura posible, que una pequeña diferencia en el estado inicial de sus ecuaciones ocasionaba cambios drásticos. Se imaginó que esa pequeña diferencia podía ser ocasionada por algo tan insignificante como un insecto, y de ahí el nombre de efecto mariposa (supongo que le sonó mejor que efecto moscardón, que también habría valido).
Como os prometí, vamos a repetir la experiencia de Lorenz con un juego matemático muy simple, que todos vosotros podéis replicar con una simple calculadora u hoja de cálculo. Tomamos el valor inicial que dábamos antes como ejemplo, 1,0396, y lo elevamos al cuadrado. Obtenemos 1,0807. Volvemos a elevar este nuevo valor al cuadrado. Y así, sucesivamente.
Después, repetimos el mismo proceso con el valor aproximado, 1,04. Podéis ver el resultado en la tabla de la derecha. Inicialmente, la diferencia es muy pequeña, del 0.04%. Sin embargo, tras cada iteración, la diferencia se incrementa. Tras sólo diez iteraciones, el valor aproximado es prácticamente el doble que el valor exacto, con un error del 48%.
Sólo tres iteraciones más tarde, el valor aproximado es 22 veces mayor que el exacto. Es decir, con apenas 13 iteraciones elevando al cuadrado, el error inicial ha pasado del 0,04% al 2236%. Y esto sólo por redondear un triste decimal.
Foto | NASA, Temari 09



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